Modelo de Solow: estado estacionário e a regra de ouro

O painel de crescimento de longo prazo traz um simulador do modelo de Solow (1956), o arcabouço que organiza a pergunta mais antiga da macroeconomia: por que alguns países são ricos e outros não — e por que acumular capital, sozinho, não resolve. Este artigo mostra como cada número e cada curva daquele simulador são calculados.

O estado estacionário

A economia produz com capital e trabalho numa função Cobb-Douglas, escrita por trabalhador efetivo — isto é, já descontando quantas pessoas trabalham e quão produtiva a tecnologia as torna:

y = f(k) = k^α

O capital por trabalhador efetivo cresce com o investimento, que é uma fração s do produto, e encolhe por três motivos que se somam: o desgaste do capital existente (δ), a chegada de mais gente para equipar (n) e o avanço da tecnologia, que eleva a régua do que conta como "equipado" (g). O estado estacionário é onde as duas forças se anulam:

s·f(k) = (n+g+δ)·k

Substituindo f(k) = k^α e isolando k, chega-se à forma fechada que o simulador calcula a cada movimento de slider:

k* = [s / (n+g+δ)]^(1/(1−α))

Dela saem o produto e o consumo de equilíbrio: y* = (k*)^α e c* = (1−s)·y*. Com a calibração brasileira de agosto de 2026, isso dá k* = 5,92, y* = 2,04 e c* = 1,70.

De onde vêm os cinco parâmetros

Eles não são escolhas didáticas: quatro saem dos dados do próprio painel, e os dois últimos são as mesmas constantes usadas na estimativa do estoque de capital e na decomposição do crescimento — o simulador e o resto do painel falam a mesma língua.

• s = 16,3% — a taxa de investimento média dos últimos 10 anos (FBCF sobre PIB), e não a taxa de poupança de 14,3% que aparece ao lado no painel. No modelo, s é o que efetivamente vira capital; a diferença entre as duas é poupança externa.
• n = 0,61% — crescimento populacional médio de 10 anos. O painel exibe "0,6%" porque arredonda para uma casa decimal.
• g = 0 — atenção: é um piso, não uma medida. A produtividade total dos fatores observada no Brasil é de −0,35 ponto percentual ao ano, e crescimento tecnológico negativo tornaria incoerente a normalização por trabalhador efetivo. O simulador assume estagnação; a medida honesta está no indicador de PTF do painel.
• δ = 5% ao ano — a mesma depreciação usada para estimar o estoque de capital pelo método do inventário perpétuo.
• α = 0,40 — a participação do capital na renda, a mesma que pondera a contabilidade do crescimento do painel.

A regra de ouro

Poupar mais eleva o capital e o produto de equilíbrio, mas consome uma fatia maior da renda para manter esse capital de pé. Existe, portanto, uma poupança que maximiza o consumo — a regra de ouro de Phelps (1961). Para encontrá-la, basta substituir k*(s) na expressão do consumo:

c*(s) = (1−s)·[s/(n+g+δ)]^(α/(1−α))

Tirando o logaritmo (que preserva o ponto de máximo e transforma o produto em soma) e derivando em relação a s:

−1/(1−s) + [α/(1−α)]/s = 0

Rearranjando, α·(1−s) = (1−α)·s, e portanto s = α. Repare no que desapareceu na derivada: n, g e δ sumiram. A poupança da regra de ouro depende apenas da participação do capital na renda. Essa é uma previsão testável no próprio simulador: mova os controles de população, tecnologia ou depreciação e o marcador dourado não sai do lugar — só o controle de α o desloca.

Com α = 0,40, a regra de ouro pede poupança de 40%, o que levaria o capital a 26,41 e o consumo a 2,22 — cerca de 30% acima do consumo de equilíbrio atual. A mesma condição pode ser escrita em termos do produto marginal do capital: f'(k) − δ = n + g.

Os três gráficos do simulador

Diagrama de Solow

Traz f(k), o investimento efetivo s·f(k) e a reta de reposição (n+g+δ)·k numa grade de 61 pontos. O estado estacionário é o cruzamento das duas últimas, marcado com um ponto. A grade vai até uma vez e meia o capital da regra de ouro, que é 4,5 vezes maior que o atual — por isso o cruzamento aparece espremido à esquerda. É proposital: torna visível a distância entre onde o Brasil está e onde o consumo seria máximo.

Consumo em função da poupança

Para cada uma das 51 taxas de poupança da grade, o simulador recalcula o estado estacionário inteiro e guarda o consumo. Dois marcadores acompanham a curva: a regra de ouro e a posição do Brasil. Vale reparar em como o topo é achatado — poupar 30% ou 50% em vez dos 40% ideais custa só cerca de 3% de consumo. A regra de ouro é uma bússola, não uma meta de precisão.

Trajetória de transição

Parte de 20% do capital de equilíbrio e itera k_{t+1} = k_t + s·k_t^α − (n+g+δ)·k_t por 60 anos. A velocidade de convergência é λ = (1−α)·(n+g+δ), que na calibração atual dá 3,4% ao ano — uma meia-vida de cerca de 21 anos. É por isso que a curva ainda parece subindo ao fim do gráfico: no modelo de Solow, convergência é assunto de gerações, não de ciclos políticos.

O que o modelo diz sobre o Brasil

No capital de equilíbrio atual, o produto marginal do capital é de 13,8% ao ano, ou 8,8% líquido de depreciação — muito acima da taxa de crescimento da economia (n+g = 0,6%). Capital é escasso e rende muito, o que significa que a economia está bem abaixo da regra de ouro, não acima: não há excesso de poupança a corrigir.

Esse resultado teórico conversa com o dado observado no painel: o juro real ex post superou o crescimento do PIB em 4,8 pontos percentuais. Modelo calibrado e medição direta chegam à mesma conclusão de eficiência dinâmica por caminhos independentes — e o retorno líquido implícito no modelo (8,8%) fica na mesma ordem de grandeza do juro real efetivamente observado.

Limitações

Os valores de k*, y* e c* são adimensionais: dependem da normalização embutida em y = k^α e não são reais, dólares nem múltiplos do PIB. O que tem significado são as razões entre eles — dizer que o consumo da regra de ouro é 30% maior faz sentido; dizer que ele "vale 2,22" não.

Mais importante: a comparação é entre estados estacionários, e ignora o custo do caminho. Saltar de 16% para 40% de poupança exigiria sacrificar consumo por décadas antes de qualquer ganho — com meia-vida de 21 anos, a geração que paga não é a que colhe. É exatamente o dilema entre gerações que a regra de ouro expõe quando se está abaixo dela, e que desaparece quando se está acima (aí reduzir a poupança melhora o consumo de todos, imediatamente). O modelo aponta o destino; não afirma que a viagem compensa.

Por fim, a função Cobb-Douglas com α fixo é uma simplificação, o g no piso zero esconde uma PTF que vem caindo, e a tecnologia é exógena — o modelo descreve o efeito do progresso técnico sem explicar de onde ele vem. Foi essa lacuna que motivou a literatura de crescimento endógeno a partir dos anos 1980.